【复数四则运算公式】在数学中，复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的四则运算（加法、减法、乘法、除法）是复数运算的基础，掌握这些运算法则对理解复数的应用具有重要意义。
以下是对复数四则运算公式的总结，并通过表格形式进行展示，便于理解和记忆。
一、复数四则运算公式总结
1. 加法
两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加：
$$
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
$$
2. 减法
两个复数相减时，实部与实部相减，虚部与虚部相减：
$$
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
$$
3. 乘法
两个复数相乘时，使用分配律展开，注意 $ i^2 = -1 $：
$$
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
4. 除法
两个复数相除时，需要将分母有理化，即乘以共轭复数：
$$
\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
$$
二、复数四则运算公式表
| 运算类型 | 公式表达式 | 说明 |
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | 实部与实部相加，虚部与虚部相加 |
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | 实部与实部相减，虚部与虚部相减 |
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | 分配律展开，注意 $ i^2 = -1 $ |
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $ | 乘以共轭复数后分母有理化 |
三、小结
复数的四则运算虽然在形式上与实数类似，但由于虚数单位 $ i $ 的存在，运算过程中需要注意符号的变化和代数的展开。熟练掌握这些公式，有助于在工程、物理、信号处理等领域的应用中灵活运用复数。
建议在学习过程中多做练习题，结合具体数值进行验证，从而加深对复数运算的理解和记忆。
