【复数的运算公式】在数学中，复数是一个重要的概念，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。复数由实部和虚部组成，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。本文将总结复数的基本运算公式，并以表格形式展示，便于理解和查阅。

一、复数的基本运算

1. 复数的加法

设两个复数分别为 $ z_1 = a + bi $ 和 $ z_2 = c + di $，则它们的和为：

$$

z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i

$$

2. 复数的减法

$$

z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i

$$

3. 复数的乘法

$$

z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

$$

4. 复数的除法

$$

\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}

$$

5. 共轭复数

复数 $ z = a + bi $ 的共轭复数为 $ \overline{z} = a - bi $

6. 模（绝对值）

复数 $ z = a + bi $ 的模为：

$$

z = \sqrt{a^2 + b^2}

$$

7. 极坐标形式

复数也可以表示为极坐标形式：

$$

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

$$

其中 $ r = z $，$ \theta $ 是幅角。

8. 欧拉公式

$$

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

$$

二、复数运算公式汇总表

三、小结

复数的运算虽然在形式上比实数复杂，但其规则清晰且具有高度的系统性。掌握这些基本公式，不仅有助于解决代数问题，还能在更高级的数学应用中发挥作用。无论是进行简单的加减乘除，还是深入理解复数的几何意义，熟悉这些公式都是必不可少的基础知识。

通过本篇文章的总结与表格展示，希望读者能够对复数的运算有一个全面而系统的认识。