在经济学中，短期生产函数是用来描述企业在短期内生产一定数量产品所需的投入要素之间关系的数学表达式。由于短期内至少有一种生产要素（如资本）是固定的，而其他要素（如劳动力）可以调整，因此短期生产函数通常表现为一种非线性关系。以下是五个常见的短期生产函数公式：

1. 线性生产函数

\[

Q = aL + bK

\]

其中 \(Q\) 表示产量，\(L\) 表示劳动投入，\(K\) 表示资本投入，\(a\) 和 \(b\) 是常数系数。这种形式假设要素之间的替代弹性为无穷大。

2. 柯布-道格拉斯生产函数

\[

Q = AL^{\alpha}K^{\beta}

\]

这是一种广泛使用的生产函数模型，其中 \(A\) 是技术效率参数，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 分别表示劳动和资本的产出弹性，且满足 \(\alpha + \beta \leq 1\)。

3. CES生产函数

\[

Q = A[\delta L^{-\rho} + (1-\delta)K^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}}

\]

CES（Constant Elasticity of Substitution）生产函数允许不同要素之间的替代弹性为常数，\(\rho\) 控制替代弹性的大小，当 \(\rho \to 0\) 时退化为柯布-道格拉斯形式。

4. 超越对数生产函数

\[

Q = e^{a + b\ln(L) + c\ln(K) + d\ln(L)^2 + e\ln(K)^2 + f\ln(L)\ln(K)}

\]

这种形式能够捕捉更复杂的边际报酬递减或递增现象，并且具有较高的灵活性。

5. 固定比例生产函数

\[

Q = \min\left(\frac{L}{a}, \frac{K}{b}\right)

\]

在这种情况下，两种要素必须以固定的比例组合使用才能产生输出，任何多余的要素都无法增加产量。

以上五种短期生产函数分别代表了不同的理论假设与应用场景，从简单的线性关系到复杂的非线性关系，反映了现实中企业面对的不同约束条件及优化目标。理解这些公式有助于分析企业在短期中的决策行为及其成本效益分析。