【分层抽样的选取公式】在统计学中，分层抽样是一种将总体划分为若干个互不重叠的子群体（即“层”）后，从每一层中独立抽取样本的方法。这种方法能够提高样本的代表性，减少抽样误差，尤其适用于总体内部存在明显差异的情况。
分层抽样的关键在于如何合理地确定各层的样本数量。以下是几种常用的分层抽样选取公式及其适用场景。
一、分层抽样选取公式的总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 比例分配法 | $ n_h = n \times \frac{N_h}{N} $ | 样本量按层的大小比例分配，适用于各层变异度相近的情况 |
| 最优分配法 | $ n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum_{h=1}^L N_h S_h} $ | 根据层内方差（$ S_h $）调整样本量，使估计精度最高 |
| 等量分配法 | $ n_h = \frac{n}{L} $ | 每一层抽取相同数量的样本，适用于各层规模相近且变异度相似的情况 |
| 常数分配法 | $ n_h = n \times \left( \frac{N_h}{N} \right)^k $ | 根据经验设定参数 $ k $ 调整分配比例，灵活性较强 |
二、公式详解与应用场景
1. 比例分配法
这是最常见的一种方法，适用于各层之间变异程度较小的情况。例如，若某学校有300名学生，其中高一100人，高二120人，高三80人，总人数为300人，若要抽取60人的样本，则每层抽取的样本数分别为：
- 高一：$ 60 \times \frac{100}{300} = 20 $
- 高二：$ 60 \times \frac{120}{300} = 24 $
- 高三：$ 60 \times \frac{80}{300} = 16 $
2. 最优分配法
当各层之间的方差差异较大时，使用此方法可以提高估计的精确度。例如，在调查不同地区居民收入情况时，若某地区收入波动大，应分配更多样本以提高准确性。
3. 等量分配法
适用于各层规模相近、且研究目标对各层关注程度一致的情况。例如，在调研不同部门员工满意度时，每个部门抽取相同数量的样本。
4. 常数分配法
该方法较为灵活，适合在缺乏详细数据的情况下进行初步设计。通过调整参数 $ k $，可控制样本在各层之间的分布比例。
三、选择合适的分配方式
在实际应用中，选择哪种分配方式取决于以下几个因素：
- 总体结构：是否具有明显的层次划分；
- 资源限制：人力、财力和时间是否允许复杂计算；
- 研究目的：是否需要对某些特定层进行更深入分析；
- 数据可用性：是否有足够的信息支持最优分配或常数分配。
四、结语
分层抽样的选取公式是确保样本代表性和提高调查效率的重要工具。合理选择分配方式，不仅能提升数据分析的准确性，还能有效利用有限的资源。在实际操作中，建议结合具体情况，灵活运用不同的公式，以达到最佳的抽样效果。
