在数学领域中，等差数列和等比数列是两种非常重要的数列类型，它们各自拥有独特的性质和公式。这些公式不仅在理论研究中有重要意义，在实际应用中也发挥着巨大的作用。下面我们将分别介绍这两种数列的基本概念及其对应的公式。

等差数列

等差数列是指一个数列中的任意两项之差等于同一个常数的数列。这个常数被称为公差，通常记作d。如果已知首项a₁和公差d，则第n项an可以通过以下公式计算：

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

此外，等差数列的前n项和Sn也可以通过如下公式求得：

\[ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] \]

或者简化为：

\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \]

等比数列

与等差数列不同，等比数列是指一个数列中的任意两项之比等于同一个常数的数列。这个常数被称为公比，通常记作r。若已知首项a₁和公比r，则第n项an可以表示为：

\[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \]

对于等比数列的前n项和Sn，当r≠1时，其公式为：

\[ S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r} \]

而当r=1时，由于每一项都相等，因此前n项和即为：

\[ S_n = n \cdot a_1 \]

应用实例

假设有一笔存款，每年增长率为5%，初始金额为1000元，那么按照等比数列的规律，第三年的存款总额为：

\[ a_3 = 1000 \cdot (1+0.05)^2 = 1102.5 \]

同时，三年内的总存款额为：

\[ S_3 = 1000 \cdot \frac{(1+0.05)^3 - 1}{(1+0.05)-1} \approx 3152.5 \]

以上便是关于等差数列和等比数列的基本公式及简单应用示例。掌握这些基础知识有助于解决许多涉及序列和级数的问题，无论是学术研究还是日常生活中的财务管理，都能提供有力的帮助。