正弦（sin）与余弦（cos）
30° 和 60° 的正弦与余弦
我们可以借助一个等边三角形来理解这两个角度的三角函数值。假设有一个边长为2的等边三角形，将其分割成两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的角度分别为30°、60°和90°。通过勾股定理可以计算出斜边上的高为\(\sqrt{3}\)。
- 对于30°角：
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{1}{2}, \quad \cos(30^\circ) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
- 对于60°角：
\[
\sin(60^\circ) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(60^\circ) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{1}{2}
\]
45° 的正弦与余弦
当角度为45°时，对应的直角三角形是一个等腰直角三角形。设两条直角边的长度均为1，则根据勾股定理可得斜边长度为\(\sqrt{2}\)。
- 对于45°角：
\[
\sin(45^\circ) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos(45^\circ) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
正切（tan）
正切函数定义为正弦与余弦的比值，即\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)。
- 对于30°角：
\[
\tan(30^\circ) = \frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
- 对于45°角：
\[
\tan(45^\circ) = \frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 1
\]
- 对于60°角：
\[
\tan(60^\circ) = \frac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}
\]
特殊角度总结
| 角度 | sin | cos| tan |
|------|---------|----------|-----------|
| 30°| 1/2 | \(\sqrt{3}/2\) | \(1/\sqrt{3}\) |
| 45°| \(1/\sqrt{2}\) | \(1/\sqrt{2}\) | 1|
| 60°| \(\sqrt{3}/2\) | 1/2| \(\sqrt{3}\) |
| 90°| 1 | 0| undefined |
以上就是这些特殊角度下三角函数的具体值及推导过程。掌握这些基础知识对于解决更复杂的数学问题至关重要。希望本文能帮助读者更好地理解和应用三角函数的概念。
