在数学领域中，三角函数是研究角度与边长之间关系的重要工具。其中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）是最基本且常用的三种三角函数。它们在几何学、物理学以及工程学等领域有着广泛的应用。本文将详细探讨这三种函数在特殊角度30°、45°、60°及90°下的具体值及其推导过程。

首先，我们来看一下这些角度对应的直角三角形特性。当一个直角三角形的角度为30°或60°时，它是一个特殊的等腰直角三角形；而当角度为45°时，则是一个等腰直角三角形。这种几何结构使得我们可以利用勾股定理轻松得出各边长度之间的比例关系。

对于30°角所在的直角三角形，其短边长度为长边的一半，斜边则等于长边乘以根号三。基于此，我们可以得到sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tan30°=1/√3。

接着考虑45°角的情况。由于这是一个等腰直角三角形，所以两边相等，设为单位长度，则根据勾股定理可知斜边长度为√2。由此可得sin45°=cos45°=√2/2, tan45°=1。

至于60°角，其对应的直角三角形具有类似30°角的特点，只是角色互换了。因此有sin60°=√3/2, cos60°=1/2, tan60°=√3。

最后，当角度达到90°时，正弦值达到最大值1，余弦值降为0，而正切值因分母为零而不存在。这一现象反映了直角三角形的一个极限状态。

以上就是关于三角函数在特定角度下的详细分析。通过掌握这些基础知识，不仅能够帮助解决实际问题，还能为进一步学习更复杂的数学概念奠定坚实的基础。