【面面垂直的判定】在立体几何中，两个平面之间的位置关系有多种，其中“面面垂直”是一种重要的特殊关系。判断两个平面是否垂直，是解决空间几何问题的重要基础。本文将对“面面垂直”的判定方法进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、面面垂直的定义
两个平面如果相交，并且它们的二面角为直角（90°），则称这两个平面互相垂直。记作：α ⊥ β。
二、面面垂直的判定方法
以下是常见的几种面面垂直的判定方法：
| 判定方法 | 内容说明 |
| 1. 定义法 | 若两个平面相交，且交线为l，若在其中一个平面内作一条直线m垂直于交线l，则两平面垂直。 |
| 2. 面面垂直判定定理 | 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。即：若a ⊥ α，且a ⊂ β，则α ⊥ β。 |
| 3. 法向量法 | 设平面α的法向量为n₁，平面β的法向量为n₂，则当n₁·n₂ = 0时，两平面垂直。 |
| 4. 空间坐标法 | 在三维坐标系中，若两个平面的方程分别为A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0和A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0，则当A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0时，两平面垂直。 |
三、应用举例
例题1：
已知平面α的法向量为(1, 2, -3)，平面β的法向量为(2, -1, 1)，判断两平面是否垂直。
解：
计算法向量点积：
1×2 + 2×(-1) + (-3)×1 = 2 - 2 - 3 = -3 ≠ 0
因此，两平面不垂直。
例题2：
已知平面α的方程为x + y + z = 0，平面β的方程为x - y + z = 0，判断两平面是否垂直。
解：
法向量分别为(1, 1, 1)和(1, -1, 1)
点积：1×1 + 1×(-1) + 1×1 = 1 - 1 + 1 = 1 ≠ 0
因此，两平面不垂直。
四、总结
面面垂直是立体几何中的重要概念，可以通过定义、定理、法向量以及坐标方程等多种方式来判断。掌握这些方法有助于更准确地分析空间图形的关系，提高解题效率。
如需进一步探讨相关题目或实际应用案例，可继续提问。
