【求复合函数求导公式】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的内容。当我们遇到由多个函数嵌套而成的函数时，就需要使用“链式法则”来进行求导。链式法则是求复合函数导数的基本方法，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。
以下是对复合函数求导公式的总结，并通过表格形式展示不同情况下的求导规则。
一、基本概念
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。例如，若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，那么 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数。
对于这种结构，我们通常用 链式法则（Chain Rule） 来求导：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
二、常见复合函数求导公式总结
| 复合函数形式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ y = f(u) $, $ u = g(x) $ | $ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) $ | 基本链式法则 |
| $ y = [g(x)]^n $ | $ \frac{dy}{dx} = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) $ | 幂函数的链式法则 |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ \frac{dy}{dx} = e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | 指数函数的导数 |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \sin(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \cos(g(x)) \cdot g'(x) $ | 正弦函数的导数 |
| $ y = \cos(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = -\sin(g(x)) \cdot g'(x) $ | 余弦函数的导数 |
| $ y = \tan(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \sec^2(g(x)) \cdot g'(x) $ | 正切函数的导数 |
| $ y = a^{g(x)} $ | $ \frac{dy}{dx} = a^{g(x)} \cdot \ln(a) \cdot g'(x) $ | 指数底为常数的情况 |
三、应用示例
假设 $ y = \sin(3x + 2) $，求导过程如下：
1. 设 $ u = 3x + 2 $，则 $ y = \sin(u) $
2. $ \frac{dy}{du} = \cos(u) $
3. $ \frac{du}{dx} = 3 $
4. 所以 $ \frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot 3 = 3\cos(3x + 2) $
四、注意事项
- 链式法则适用于任何可导的复合函数。
- 在实际应用中，需要正确识别内外层函数，避免混淆导数顺序。
- 若有多个嵌套函数（如 $ y = f(g(h(x))) $），则需多次应用链式法则。
通过掌握这些基本公式和应用技巧，可以更高效地处理复杂的复合函数求导问题。理解并熟练运用链式法则，是学习微积分的重要一步。
