【如何求直线与平面所成的角】在立体几何中，直线与平面所成的角是一个重要的概念，常用于解决空间图形中的角度问题。该角的大小反映了直线与平面之间的倾斜程度。下面将从定义、方法和步骤等方面进行总结，并以表格形式呈现关键内容。

一、定义

直线与平面所成的角是指：一条直线与它在平面上的投影之间的夹角。这个角的范围是 0° ≤ θ ≤ 90°。

注意：如果直线与平面垂直，则所成的角为 90°；如果直线在平面内或与平面平行，则所成的角为 0°。

二、求解方法

求直线与平面所成的角通常有以下几种方法：

三、具体步骤（以向量法为例）

1. 确定直线的方向向量

设直线 $ l $ 的方向向量为 $ \vec{v} = (a, b, c) $

2. 确定平面的法向量

设平面 $ \pi $ 的法向量为 $ \vec{n} = (A, B, C) $

3. 计算直线与法向量的夹角

用公式：

$$

\cos\theta_1 = \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{\vec{v}\vec{n}}

$$

其中 $ \theta_1 $ 是直线与法向量的夹角。

4. 求直线与平面的夹角

直线与平面的夹角 $ \theta $ 为：

$$

\theta = 90^\circ - \theta_1

$$

四、示例分析

假设直线方向向量为 $ \vec{v} = (1, 2, 3) $，平面法向量为 $ \vec{n} = (2, 1, -1) $

- 计算点积：$ \vec{v} \cdot \vec{n} = 1×2 + 2×1 + 3×(-1) = 2 + 2 - 3 = 1 $

- 模长计算：

- $ \vec{v} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} $

- $ \vec{n} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} $

- 得到：

$$

\cos\theta_1 = \frac{1}{\sqrt{14} \times \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{84}}

$$

- 所以：

$$

\theta_1 = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{84}}\right)

$$

- 最终直线与平面的夹角为：

$$

\theta = 90^\circ - \theta_1

$$

五、注意事项

- 若题目中没有明确给出法向量或方向向量，需先根据题意进行推导。

- 在实际应用中，应优先使用几何法或向量法，避免复杂计算。

- 注意单位统一，角度一般用“度”表示，也可转换为弧度。

总结表格

通过以上内容，可以系统地掌握如何求直线与平面所成的角，提升解决相关几何问题的能力。