在解析几何中，直线是最基本的几何图形之一，而描述直线的方法多种多样。其中，“两点式”是一种非常直观且实用的表达方式，能够快速确定一条已知两点的直线方程。

假设我们有平面上两个不同的点 \( P_1(x_1, y_1) \) 和 \( P_2(x_2, y_2) \)，它们不重合（即 \( x_1 \neq x_2 \) 或 \( y_1 \neq y_2 \)）。那么，通过这两个点可以唯一确定一条直线。这条直线的两点式方程为：

\[

\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

\]

这里，分子和分母分别表示直线上任意一点与已知点之间的纵坐标差和横坐标差之比。这个公式的意义在于，它利用了直线斜率的概念——即任意两点间的纵坐标变化量与横坐标变化量的比例。

为了更清楚地理解，我们可以对上述公式进行变形。首先，将两边同时乘以 \( (x - x_1)(x_2 - x_1) \)，得到：

\[

(y - y_1)(x_2 - x_1) = (y_2 - y_1)(x - x_1)

\]

进一步整理后，可得：

\[

(y_2 - y_1)x - (y_2 - y_1)x_1 = (x_2 - x_1)y - (x_2 - x_1)y_1

\]

移项化简，则为：

\[

(y_2 - y_1)x - (x_2 - x_1)y + (x_2y_1 - x_1y_2) = 0

\]

这是一个标准的一次方程形式 \( Ax + By + C = 0 \)，其中 \( A = y_2 - y_1 \), \( B = -(x_2 - x_1) \), \( C = x_2y_1 - x_1y_2 \)。这种形式便于后续计算和分析。

需要注意的是，当 \( x_1 = x_2 \) 时，直线垂直于 \( x \)-轴，此时无法使用两点式表示，但可以直接写出其方程为 \( x = x_1 \)。同样地，当 \( y_1 = y_2 \) 时，直线平行于 \( x \)-轴，方程为 \( y = y_1 \)。

两点式方程的优点在于其直观性和简单性，尤其适合已知两点的情况。此外，在实际应用中，这种方法还能够帮助我们快速绘制出对应的图像，并解决一些与直线相关的几何问题。

总结来说，两点式是解析几何中的一个重要工具，它不仅揭示了直线的本质属性，同时也为我们提供了灵活处理平面几何问题的有效途径。无论是理论研究还是工程实践，掌握这一知识点都将大有裨益。