在数学中，均值不等式是一种非常重要的工具，它揭示了不同形式的平均数之间的关系。这些公式在解决实际问题和理论研究中都具有广泛的应用价值。以下是均值不等式的四个经典公式：

1. 算术平均数与几何平均数的关系

设a₁, a₂, ..., an为n个正实数，则它们的算术平均数大于或等于几何平均数，即：

(a₁ + a₂ + ... + an) / n ≥ (a₁ a₂ ... an)^(1/n)

当且仅当a₁ = a₂ = ... = an时取等号。

2. 几何平均数与调和平均数的关系

对于上述n个正实数a₁, a₂, ..., an，其几何平均数大于或等于调和平均数，即：

(a₁ a₂ ... an)^(1/n) ≥ n / (1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/an)

同样地，当且仅当a₁ = a₂ = ... = an时取等号。

3. 算术平均数与调和平均数的关系

这一定理表明，对于相同的n个正实数a₁, a₂, ..., an，其算术平均数总是大于或等于调和平均数，即：

(a₁ + a₂ + ... + an) / n ≥ n / (1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/an)

这里也存在当且仅当a₁ = a₂ = ... = an时取等号的情况。

4. 幂平均不等式

幂平均不等式是一类更广泛的均值不等式。对于任意实数p和q（p > q），如果x₁, x₂, ..., xn是非负实数，则它们的p次幂平均数大于或等于q次幂平均数，即：

((x₁^p + x₂^p + ... + xn^p)/n)^(1/p) ≥ ((x₁^q + x₂^q + ... + xn^q)/n)^(1/q)

特别地，当p趋向于无穷大时，此不等式退化为最大值；而当p趋于零时，则变为几何平均数。

以上就是均值不等式的四个基本公式及其应用示例。掌握这些基本原理不仅有助于加深对数学本质的理解，还能帮助我们更好地应对各种复杂问题。