【等比数列公式是什么】等比数列是数学中一种重要的数列形式，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。了解等比数列的公式有助于快速计算其各项值和求和结果。以下是对等比数列公式的总结与归纳。
一、等比数列的基本概念
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比值是一个常数的数列。这个常数称为公比，通常用字母 q 表示。
例如：
2, 6, 18, 54, 162...
这是一个等比数列，其中首项为 a₁ = 2，公比 q = 3。
二、等比数列的公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | aₙ = a₁ × q^(n-1) | 计算第n项的值 | ||
| 前n项和公式 | Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)（q ≠ 1） | 当q ≠ 1时，计算前n项的和 | ||
| 无穷等比数列和 | S = a₁/(1 - q)（ | q | < 1） | 当公比绝对值小于1时，无限项和 |
| 等比中项公式 | b = √(a×c)（a, b, c成等比数列） | 在等比数列中，中间项为前后两项的几何平均 |
三、使用示例
例1：求第5项
已知 a₁ = 3，q = 2
a₅ = 3 × 2^(5-1) = 3 × 16 = 48
例2：求前4项和
a₁ = 2，q = 3
S₄ = 2 × (1 - 3⁴)/(1 - 3) = 2 × (1 - 81)/(-2) = 2 × 40 = 80
例3：求无穷等比数列和
a₁ = 1，q = 1/2
S = 1 / (1 - 1/2) = 2
四、注意事项
- 当公比 q = 1 时，所有项都相等，此时前n项和为 Sₙ = n × a₁。
- 若公比 q ≤ -1 或 q ≥ 1，则无穷等比数列不收敛，无法求和。
- 等比数列的性质可以用于实际问题建模，如复利计算、人口增长预测等。
通过以上公式和实例，我们可以清晰地掌握等比数列的核心内容，并在实际应用中灵活运用。
