【二项分布超几何分布的均值和方差公式是什么】在概率论与统计学中，二项分布和超几何分布是两种常见的离散概率分布模型，分别用于描述独立重复试验和无放回抽样中的成功次数。它们的均值和方差是衡量随机变量集中趋势和离散程度的重要指标。
为了更清晰地理解这两种分布的均值与方差，以下是对它们的总结，并通过表格形式进行对比展示。
一、二项分布（Binomial Distribution）
定义：在n次独立重复试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，X表示成功次数，则X服从参数为n和p的二项分布，记作X ~ B(n, p)。
均值（期望）：
$$
E(X) = np
$$
方差：
$$
Var(X) = np(1 - p)
$$
二、超几何分布（Hypergeometric Distribution）
定义：从一个有限总体中不放回地抽取样本，总体中有N个元素，其中有K个“成功”元素，抽取n个样本，X表示其中的成功数，则X服从参数为N、K、n的超几何分布，记作X ~ H(N, K, n)。
均值（期望）：
$$
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
$$
方差：
$$
Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
$$
三、对比总结
| 分布类型 | 均值（期望） | 方差 |
| 二项分布 | $ np $ | $ np(1 - p) $ |
| 超几何分布 | $ n \cdot \frac{K}{N} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot (1 - \frac{K}{N}) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
四、说明
- 二项分布适用于独立重复试验，每次试验的结果互不影响。
- 超几何分布适用于无放回抽样，因此各次试验之间不是独立的，这导致其方差中多了一个修正因子 $\frac{N - n}{N - 1}$，称为“有限总体校正因子”。
通过上述对比可以看出，虽然两者都用于描述成功次数的概率分布，但适用场景不同，因此在计算均值和方差时也存在差异。理解这些差异有助于在实际问题中选择合适的概率模型。
