【立体几何向量垂直乘积为多少】在立体几何中，向量的运算是一个重要的内容，其中“向量垂直”是常见的问题之一。当两个向量垂直时，它们的点积（内积）为零，而叉积（外积）则表示它们所形成的平面的法向量。本文将总结向量垂直的相关概念，并通过表格形式展示不同情况下向量乘积的结果。
一、向量垂直的基本概念
在三维空间中，若两个向量 a 和 b 满足以下条件：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
则称这两个向量 互相垂直。这是判断两向量是否垂直的标准方法。
而向量的叉积（外积）定义为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b}
$$
其结果是一个与 a 和 b 都垂直的向量，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积。
二、向量垂直时的乘积类型
| 向量关系 | 点积（内积） | 叉积（外积） |
| 垂直 | 0 | 非零向量 |
| 不垂直 | 非零 | 非零向量 |
- 点积为零：说明两向量方向正交。
- 叉积不为零：说明两向量不在同一平面，且叉积的方向垂直于两者所在平面。
三、具体例子分析
示例1：已知向量 a = (1, 2, 3)，b = (-2, 1, 0)
计算点积：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
$$
结论：a 与 b 垂直。
计算叉积：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
-2 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(2 \cdot 0 - 3 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 3 \cdot (-2)) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-2))
$$
$$
= \mathbf{i}(-3) - \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(5) = (-3, -6, 5)
$$
结论：叉积结果为非零向量，方向垂直于 a 和 b 所在平面。
四、总结
在立体几何中，当两个向量垂直时：
- 它们的 点积为零；
- 它们的 叉积不为零，且结果向量与原两向量都垂直。
因此，向量垂直时的乘积为点积为零，叉积为非零向量。
关键词：立体几何、向量垂直、点积、叉积、向量运算
