【常见的求导公式】在微积分的学习中，求导是基础且重要的内容之一。掌握常见的求导公式，不仅可以提高解题效率，还能帮助理解函数的变化规律。以下是一些在数学和物理中经常用到的求导公式，以加表格的形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
1. 常数函数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则其导数为：
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数
若 $ f(x) = x^n $，其中 $ n $ 为任意实数，则其导数为：
$$
f'(x) = nx^{n-1}
$$
3. 指数函数
若 $ f(x) = a^x $，其中 $ a > 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
特别地，当 $ a = e $ 时，导数为：
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 对数函数
若 $ f(x) = \log_a x $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
当 $ a = e $ 时，即自然对数，导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数
- $ f(x) = \sin x $，导数为：
$$
f'(x) = \cos x
$$
- $ f(x) = \cos x $，导数为：
$$
f'(x) = -\sin x
$$
- $ f(x) = \tan x $，导数为：
$$
f'(x) = \sec^2 x
$$
- $ f(x) = \cot x $，导数为：
$$
f'(x) = -\csc^2 x
$$
6. 反三角函数
- $ f(x) = \arcsin x $，导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arccos x $，导数为：
$$
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arctan x $，导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
二、导数的运算法则
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 常数倍法则 | $ (cf)' = c f' $ | c 为常数 |
| 加减法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ | 两个函数的和或差的导数 |
| 乘法法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ | 两个函数的积的导数 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ | 两个函数的商的导数 |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数 |
三、常见函数的导数表
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
通过掌握这些基本的求导公式和运算法则，可以更高效地解决各类微分问题。在实际应用中，结合具体题目灵活运用这些公式，是提升数学能力的重要途径。
