【不定积分常用公式有哪些】在数学学习中，不定积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握一些常用的不定积分公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对积分概念的理解。以下是一些常见的不定积分公式，以总结加表格的形式呈现，方便查阅和记忆。
一、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、三角函数的积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \sin ax $ | $ -\frac{1}{a}\cos ax + C $ | ||
| $ \cos ax $ | $ \frac{1}{a}\sin ax + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
三、反三角函数的积分公式
| 函数 | 不定积分 |
| $ \frac{1}{1+x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ |
| $ \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arccos x + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
四、有理函数与部分分式积分
对于有理函数 $ \frac{P(x)}{Q(x)} $，若分子次数不小于分母，则需先进行多项式除法，再对余式进行分解。常见形式如下：
- $ \int \frac{1}{(x-a)(x-b)} dx = \frac{1}{b-a} \ln\left
- $ \int \frac{Ax + B}{(ax+b)^2} dx = \frac{A}{a} \ln
五、其他常用积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x-a}{x+a}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 + a^2}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
六、小结
以上列出的是不定积分中最常用的一些公式，涵盖了多项式、指数、三角函数、反三角函数以及有理函数等常见类型。在实际应用中，还需结合换元法、分部积分法、部分分式分解等技巧灵活运用这些公式。建议在学习过程中多做练习，逐步掌握各种积分方法和技巧，提升解题能力。
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