在数学分析中，数列极限是一个重要的概念，它帮助我们理解数列的发展趋势以及其最终的行为。求解数列极限的方法多种多样，本文将介绍几种常见的方法，并通过实例来说明它们的应用。

1. 定义法

最基础也是最直接的方法就是利用数列极限的定义。如果对于任意给定的正数ε>0，总存在一个自然数N，使得当n>N时，|an-L|<ε成立，则称L是数列{an}的极限。这种方法虽然理论性强，但在具体操作上可能较为复杂。

例题：证明数列an=1/n的极限为0。

解：设ε>0，要使|1/n-0|=1/n<ε成立，只需n>1/ε即可。因此，取N=[1/ε]（即大于等于1/ε的最大整数），则当n>N时，有|1/n-0|<ε，所以lim(n→∞)1/n=0。

2. 夹逼准则

夹逼准则是求解数列极限的一个非常实用的方法。如果存在两个数列{bn}和{cn}，满足对于所有n≥N（某个固定的自然数N），都有bn≤an≤cn，并且lim(n→∞)bn=lim(n→∞)cn=L，则可以得出lim(n→∞)an=L。

例题：求数列an=(sin n)/n的极限。

解：注意到-1≤sin n≤1，因此有-1/n≤(sin n)/n≤1/n。由于lim(n→∞)(-1/n)=lim(n→∞)(1/n)=0，由夹逼准则可得lim(n→∞)(sin n)/n=0。

3. 等价无穷小替换

当数列表达式中含有乘积形式时，可以考虑使用等价无穷小替换简化计算过程。例如，在处理指数函数或对数函数时，常用到e^x≈1+x（x→0）这样的近似关系。

例题：求数列an=[(1+1/n)^n-e]/ln(1+1/n)的极限。

解：首先注意到(1+1/n)^n=e^(n ln(1+1/n))，而当n趋于无穷大时，ln(1+1/n)≈1/n。因此，原式可化简为[(1+1/n)^n-e]/(1/n)，进一步化简得到n[(1+1/n)^n-e]。继续利用泰勒展开式展开(1+1/n)^n后进行计算，最终结果为e。

4. 数学归纳法与递推公式

对于某些特殊的数列，可以通过建立递推关系并结合数学归纳法来确定其极限值。这种方法特别适用于那些具有明确递推结构的数列。

例题：已知数列{an}满足a1=1, an+1=√(1+an)，求lim(n→∞)an。

解：假设lim(n→∞)an=L，则根据递推关系an+1=√(1+an)，可得L=√(1+L)。两边平方后整理得到L²-L-1=0，解得L=(1+√5)/2（负根舍去）。接下来验证该数列单调递增且有上界，从而确认lim(n→∞)an=(1+√5)/2。

以上介绍了四种常用的数列极限求解方法。实际应用中，往往需要结合具体情况灵活选择合适的方法。掌握这些技巧不仅有助于解决具体的数学问题，还能培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。