【sinx的n次方的定积分用归纳公式】在数学中，计算 $\sin^n x$ 在某个区间上的定积分是一个常见的问题，尤其在微积分和物理中有广泛应用。对于不同的 $n$ 值，直接计算可能会变得复杂，因此我们可以通过归纳法推导出一个通用的递推公式，从而简化计算过程。

一、基本概念

对于函数 $\sin^n x$，其在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的定积分可以表示为：

$$

I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx

$$

这个积分的结果与 $n$ 的奇偶性有关，并且可以通过递推公式进行求解。

二、归纳公式推导

我们通过分部积分法来推导递推关系式。

设：

$$

I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx

$$

利用分部积分法，令 $u = \sin^{n-1} x$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \, dx$，$v = -\cos x$

根据分部积分公式：

$$

I_n = -\left. \sin^{n-1} x \cos x \right_0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx

$$

注意到边界项为 0，因为 $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$，$\cos(0) = 1$，而 $\sin^{n-1}(0) = 0$，所以第一项为 0。

于是：

$$

I_n = (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx = (n-1)(I_{n-2} - I_n)

$$

移项得：

$$

I_n + (n-1)I_n = (n-1)I_{n-2}

$$

$$

n I_n = (n-1)I_{n-2}

$$

最终得到递推公式：

$$

I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}

$$

三、初始条件

为了使用递推公式，我们需要两个初始值：

- 当 $n = 0$ 时：

$$

I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^0 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}

$$

- 当 $n = 1$ 时：

$$

I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1

$$

四、总结表格

五、结论

通过归纳公式：

$$

I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}

$$

我们可以快速计算 $\sin^n x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的定积分，无需每次都进行复杂的积分运算。这种方法不仅提高了计算效率，也便于程序实现或进一步理论分析。