在概率论中，两点分布是一种最简单的离散型随机变量分布形式，它描述的是只有两种可能结果的情况，比如成功或失败、正面或反面等。对于这种分布，我们通常用随机变量 \( X \) 来表示结果，其中 \( X = 1 \) 表示事件发生（成功），\( X = 0 \) 表示事件未发生（失败）。假设事件发生的概率为 \( p \)，那么事件不发生的概率就是 \( 1-p \)。

接下来，我们来推导两点分布的数学期望 \( E(X) \)。根据期望的定义，对于一个离散型随机变量 \( X \)，其期望值 \( E(X) \) 是所有可能取值与对应概率乘积的总和：

\[ E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X=x) \]

对于两点分布来说，随机变量 \( X \) 只有两个可能的取值 \( 0 \) 和 \( 1 \)，因此可以将上述公式具体化为：

\[ E(X) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p \]

简化这个表达式后，我们得到：

\[ E(X) = p \]

这就证明了两点分布的期望值等于事件发生的概率 \( p \)。这一结论非常直观，因为当 \( X=1 \) 的概率为 \( p \) 时，平均每次试验的结果就是 \( p \) 次的成功率。

通过这种方法，我们可以清晰地理解为什么两点分布的期望值会直接等于概率 \( p \)，而无需复杂的计算过程。这种简单而直接的方法不仅有助于加深对基本概念的理解，也为后续更复杂的概率模型奠定了基础。