在数学领域中，数列求和是一个重要的研究方向，尤其是当两种不同类型的数列相乘时，其求和公式往往更加复杂且具有一定的理论价值与实际应用意义。本文将探讨一种特殊的数列组合——等比数列与等差数列的乘积之和，并尝试推导出其前n项和的表达式。
一、问题引入
假设我们有两个数列：
- 等比数列{a_n}：首项为a₁，公比为q；
- 等差数列{b_n}：首项为b₁，公差为d。
定义一个新的数列{c_n}，其中每一项为两数列对应项的乘积，即：
\[ c_n = a_n \cdot b_n \]
目标是计算数列{c_n}的前n项和，记作S_n：
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} c_k = \sum_{k=1}^{n} (a_k \cdot b_k) \]
二、公式推导
1. 表达式展开
根据等比数列和等差数列的通项公式：
\[ a_k = a_1 q^{k-1}, \quad b_k = b_1 + (k-1)d \]
因此，数列{c_n}的第k项可以写为：
\[ c_k = a_k \cdot b_k = [a_1 q^{k-1}] \cdot [b_1 + (k-1)d] \]
\[ c_k = a_1 b_1 q^{k-1} + a_1 d (k-1) q^{k-1} \]
将其代入前n项和公式：
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} c_k = \sum_{k=1}^{n} \left[ a_1 b_1 q^{k-1} + a_1 d (k-1) q^{k-1} \right] \]
2. 分解求和
上述求和可以分解为两个部分：
\[ S_n = a_1 b_1 \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} + a_1 d \sum_{k=1}^{n} (k-1) q^{k-1} \]
（1）第一部分：等比数列求和
\[ \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = 1 + q + q^2 + \dots + q^{n-1} \]
这是一个典型的等比数列求和公式，结果为：
\[ \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \frac{1-q^n}{1-q}, \quad q \neq 1 \]
（2）第二部分：混合项求和
对于第二部分，令 \( m = k-1 \)，则：
\[ \sum_{k=1}^{n} (k-1) q^{k-1} = \sum_{m=0}^{n-1} m q^m \]
这是一个较为复杂的求和形式，可以通过分步求导或递归方法解决。具体过程如下：
\[ T_n = \sum_{m=0}^{n-1} m q^m \]
利用等比数列求导性质，可得：
\[ T_n = q \frac{d}{dq} \left( \sum_{m=0}^{n-1} q^m \right) = q \frac{d}{dq} \left( \frac{1-q^n}{1-q} \right) \]
经过计算后，最终结果为：
\[ T_n = \frac{q(1-q^{n-1}) - nq^n (1-q)}{(1-q)^2} \]
3. 合并结果
将两部分合并，得到最终的前n项和公式：
\[ S_n = a_1 b_1 \frac{1-q^n}{1-q} + a_1 d \cdot \frac{q(1-q^{n-1}) - nq^n (1-q)}{(1-q)^2} \]
三、实例验证
以a₁=2, q=3, b₁=1, d=2为例，计算S₃：
- 第一部分：
\[ \frac{1-q^3}{1-q} = \frac{1-27}{1-3} = 13 \]
- 第二部分：
\[ \frac{q(1-q^2) - 3q^3 (1-q)}{(1-q)^2} = \frac{3(1-9) - 27(1-3)}{4} = 15 \]
因此：
\[ S_3 = 2 \cdot 1 \cdot 13 + 2 \cdot 2 \cdot 15 = 26 + 60 = 86 \]
通过直接计算验证，结果一致。
四、总结
本文推导了等比数列与等差数列乘积的前n项和公式，并给出了详细的推导过程及实例验证。该公式在某些特定场景下具有较高的实用价值，例如金融模型中的现金流分析、物理系统中的能量分布计算等。希望本文能为相关领域的研究提供一定的参考。
