【关于tan的三角函数公式】在三角函数中，tan（正切）是一个非常重要的函数，广泛应用于数学、物理和工程等领域。tan函数可以表示为直角三角形中对边与邻边的比值，也可以通过单位圆进行定义。本文将总结与tan相关的常用三角函数公式，并以表格形式呈现，便于查阅和理解。
一、基本定义
在直角三角形中，对于一个锐角α：
$$
\tan\alpha = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
$$
在单位圆中，tanθ 的值等于终边与单位圆交点的 y 坐标除以 x 坐标，即：
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
$$
二、常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正切定义 | $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 正切是正弦与余弦的比值 |
| 倒数关系 | $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$ | 余切是正切的倒数 |
| 平方关系 | $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ | 与正割的关系 |
| 和角公式 | $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$ | 用于计算两角和的正切 |
| 差角公式 | $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ | 用于计算两角差的正切 |
| 倍角公式 | $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$ | 用于计算两倍角的正切 |
| 半角公式 | $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ | 用于计算半角的正切 |
三、特殊角度的tan值
| 角度（°） | 弧度（rad） | $\tan\theta$ |
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45° | $\frac{\pi}{4}$ | 1 |
| 60° | $\frac{\pi}{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90° | $\frac{\pi}{2}$ | 未定义 |
四、注意事项
- 当cosθ = 0时，tanθ无定义，因为此时分母为零。
- tanθ在区间 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内是单调递增的。
- tanθ的周期为π，即$\tan(\theta + n\pi) = \tan\theta$，其中n为整数。
五、应用举例
例如，在解决实际问题时，若已知一个斜坡的倾斜角为30°，则其坡度可以用tan30°来表示，即约为0.577，表示每前进1米，垂直上升约0.577米。
通过以上内容，我们可以清晰地了解tan函数的基本定义、相关公式及其在不同情境下的应用。掌握这些知识有助于更好地理解和运用三角函数。
