【等比数列通项公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比（通常用字母 $ q $ 表示）。等比数列的通项公式是用于快速计算数列中任意一项数值的重要工具。
一、等比数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，则称这个数列为等比数列。
- 首项：数列的第一个数，记作 $ a_1 $。
- 公比：相邻两项的比值，记作 $ q $。
- 通项公式：用于求第 $ n $ 项的公式。
二、等比数列的通项公式
等比数列的通项公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ q $ 是公比；
- $ n $ 是项数（$ n \in \mathbb{N}^ $）。
三、通项公式的应用举例
| 项数 $ n $ | 首项 $ a_1 $ | 公比 $ q $ | 第 $ n $ 项 $ a_n $ | 计算过程 |
| 1 | 2 | 3 | 2 | $ 2 \cdot 3^{0} = 2 $ |
| 2 | 2 | 3 | 6 | $ 2 \cdot 3^{1} = 6 $ |
| 3 | 2 | 3 | 18 | $ 2 \cdot 3^{2} = 18 $ |
| 4 | 2 | 3 | 54 | $ 2 \cdot 3^{3} = 54 $ |
| 5 | 2 | 3 | 162 | $ 2 \cdot 3^{4} = 162 $ |
四、总结
等比数列的通项公式是解决等比数列问题的核心工具。通过该公式，可以快速求出数列中的任意一项，而无需逐项计算。掌握这一公式有助于理解数列的规律，并应用于实际问题中，如金融利息计算、几何增长模型等。
注意：若已知数列中的某一项和公比，也可以利用通项公式反推出首项或其它项的值。例如，已知 $ a_3 = 18 $，$ q = 3 $，则 $ a_1 = \frac{a_3}{q^{2}} = \frac{18}{9} = 2 $。
