【xlnx导数过程】在微积分中，求函数的导数是一个基础而重要的内容。对于函数 $ f(x) = x \ln x $，其导数的计算需要应用乘积法则和对数函数的导数公式。以下是对该函数导数过程的详细总结。
一、导数计算步骤
1. 识别函数结构
函数 $ f(x) = x \ln x $ 是两个函数的乘积，即 $ u(x) = x $ 和 $ v(x) = \ln x $。
2. 应用乘积法则
根据乘积法则，若 $ f(x) = u(x)v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
3. 分别求出各部分的导数
- $ u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1 $
- $ v(x) = \ln x \Rightarrow v'(x) = \frac{1}{x} $
4. 代入乘积法则公式
$$
f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}
$$
5. 化简结果
$$
f'(x) = \ln x + 1
$$
二、关键知识点总结
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 识别函数结构 | $ f(x) = x \ln x $ 是两个函数的乘积 |
| 2 | 应用乘积法则 | $ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $ |
| 3 | 求导数 | $ u'(x) = 1 $, $ v'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 4 | 代入公式 | $ f'(x) = \ln x + 1 $ |
| 5 | 化简结果 | 最终导数为 $ \ln x + 1 $ |
三、结论
通过对函数 $ f(x) = x \ln x $ 的导数进行分析，我们得出其导数为：
$$
f'(x) = \ln x + 1
$$
这一结果在数学分析、物理建模以及工程问题中都有广泛应用，尤其在涉及指数增长或衰减的问题中更为常见。理解这一过程有助于掌握更复杂的导数运算技巧。
