【二元函数的极限怎么求】在数学分析中，二元函数的极限是研究函数在某一点附近的变化趋势的重要工具。与一元函数的极限相比，二元函数的极限更加复杂，因为变量有两个方向的变化可能影响极限的存在性。本文将总结常见的求解方法，并通过表格形式对不同方法进行对比说明。

一、二元函数极限的基本概念

设函数 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 的某个邻域内有定义（或除去该点本身），若对于任意给定的正数 $ \varepsilon > 0 $，存在一个正数 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta $ 时，都有

$$

$$

则称 $ L $ 为 $ f(x, y) $ 当 $ (x, y) \to (x_0, y_0) $ 时的极限，记作

$$

\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x, y) = L

$$

二、求二元函数极限的常用方法

以下是几种常用的求解方法及其适用情况：

三、典型例题解析

例1：直接代入法

$$

\lim_{(x,y)\to(1,2)} (x^2 + y^2)

$$

解：直接代入得 $ 1^2 + 2^2 = 5 $，所以极限为 5。

例2：路径法

$$

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}

$$

- 沿 $ y = 0 $ 趋近：极限为 1

- 沿 $ y = x $ 趋近：极限为 0

因此极限不存在。

例3：极坐标法

$$

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}

$$

令 $ x = r\cos\theta, y = r\sin\theta $，代入后得到

$$

\frac{r^3 \cos^2\theta \sin\theta}{r^2} = r \cos^2\theta \sin\theta \to 0

$$

所以极限为 0。

四、注意事项

- 路径依赖：二元函数极限的存在性与路径有关，需从多条路径验证。

- 连续性判断：若函数在某点连续，则可以直接代入。

- 极限存在性的判定：只有所有路径都趋向同一值时，才能确定极限存在。

五、总结

二元函数的极限求解方法多样，需根据函数的形式和特点选择合适的方法。掌握路径法、极坐标法、夹逼定理等基本技巧，有助于更准确地判断极限是否存在及求出其值。理解这些方法不仅有助于考试答题，也为后续学习多元微积分打下坚实基础。