在数字电路设计中，全加器（Full Adder）是一种基本的算术单元，用于实现两个二进制位以及来自低位的进位相加的功能。它广泛应用于计算机的算术逻辑单元（ALU）中，是构建多位加法器的核心组件之一。为了更好地理解全加器的工作原理，我们需要了解其逻辑表达式。

全加器有三个输入端：A、B 和 Cin（进位输入），以及两个输出端：Sum（和）和 Cout（进位输出）。其中，A 和 B 是要相加的两个二进制位，Cin 表示从低位传递过来的进位值。Sum 表示当前位的运算结果，而 Cout 则表示向高位传递的进位信号。

全加器的逻辑表达式可以通过布尔代数进行推导。首先，我们可以根据真值表来分析其工作方式：

| A | B | Cin | Sum | Cout |

|---|---|-----|-----|------|

| 0 | 0 |0|0|0 |

| 0 | 0 |1|1|0 |

| 0 | 1 |0|1|0 |

| 0 | 1 |1|0|1 |

| 1 | 0 |0|1|0 |

| 1 | 0 |1|0|1 |

| 1 | 1 |0|0|1 |

| 1 | 1 |1|1|1 |

通过观察该真值表，可以得出以下结论：

- Sum 的值为 A、B 和 Cin 三者异或的结果，即：

Sum = A ⊕ B ⊕ Cin

- Cout 的值则为 A 和 B 相与，或者 B 和 Cin 相与，或者 A 和 Cin 相与后的逻辑或，即：

Cout = (A ∧ B) ∨ (B ∧ Cin) ∨ (A ∧ Cin)

这两个表达式构成了全加器的基本逻辑结构。在实际电路中，通常会使用多个半加器（Half Adder）和逻辑门组合来实现全加器的功能。

需要注意的是，虽然上述表达式是基于逻辑运算的理论推导，但在实际应用中，可能会采用更优化的电路设计，例如使用多路复用器或其他逻辑结构来减少延迟或简化电路复杂度。

总结来说，全加器的逻辑表达式是数字系统中实现二进制加法的基础。通过对这些表达式的深入理解，我们能够更好地掌握数字电路的设计原理，并为更高层次的计算系统打下坚实的基础。