【函数求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数求导公式，有助于快速解决数学问题，提高解题效率。本文将总结一些基本的函数求导公式，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数的求导法则
在实际应用中，很多函数是由多个基本函数组合而成的，因此需要用到复合函数的求导法则，如链式法则。
链式法则：
若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
乘积法则：
若 $ y = u(x) \cdot v(x) $，则
$$
y' = u'v + uv'
$$
商法则：
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
三、高阶导数与隐函数求导
除了基本的导数外，还有一些特殊类型的导数也需要掌握：
- 高阶导数：对函数连续求导多次，如二阶导数 $ f''(x) $，三阶导数 $ f'''(x) $ 等。
- 隐函数求导：当函数不能显式表示时，可以通过两边对变量求导并解出导数。
例如，对于方程 $ x^2 + y^2 = 1 $，两边对 $ x $ 求导得：
$$
2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
四、小结
掌握常见的函数求导公式是学习微积分的基础，也是解决实际问题的关键。通过理解导数的定义、规则以及应用场景，可以更灵活地运用这些公式进行计算和分析。建议结合例题练习，加深对公式的理解和记忆。
希望本文能帮助你更好地掌握函数求导的相关知识！
