【等比数列通项公式两种】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比（记作 $ q $）。等比数列的通项公式是用于快速计算任意一项数值的重要工具。
等比数列的通项公式有两种常见的表达方式，根据初始项的位置不同而有所区别。下面将对这两种公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、等比数列通项公式的两种形式
1. 以第一项为基准的通项公式
如果已知等比数列的第一项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，则第 $ n $ 项的通项公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_1 $ 是首项；
- $ q $ 是公比；
- $ n $ 是项数（正整数）。
2. 以第 $ k $ 项为基准的通项公式
如果已知等比数列中的某一项 $ a_k $（即第 $ k $ 项），公比为 $ q $，则第 $ n $ 项的通项公式为：
$$
a_n = a_k \cdot q^{n-k}
$$
其中：
- $ a_k $ 是已知的第 $ k $ 项；
- $ q $ 是公比；
- $ n $ 是目标项数；
- $ k $ 是已知项的序号。
二、两种通项公式的对比总结
| 公式类型 | 公式表达式 | 已知条件 | 适用场景 |
| 第一种 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | 首项 $ a_1 $ 和公比 $ q $ | 通常用于求任意项，尤其是从首项开始的情况 |
| 第二种 | $ a_n = a_k \cdot q^{n-k} $ | 某一项 $ a_k $ 和公比 $ q $ | 当已知中间某一项时使用 |
三、举例说明
例1：
已知等比数列首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ q = 2 $，求第5项。
解：
$$
a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48
$$
例2：
已知等比数列第3项 $ a_3 = 12 $，公比 $ q = 3 $，求第6项。
解：
$$
a_6 = 12 \cdot 3^{6-3} = 12 \cdot 27 = 324
$$
四、总结
等比数列的通项公式主要有两种形式，分别适用于不同的已知条件。掌握这两种公式有助于灵活应对各类等比数列问题，提高解题效率。无论是从首项出发还是从中间某一项入手，都可以通过通项公式快速找到目标项的值。
