【sinx的n次方积分递推式】在数学分析中，计算函数 $ \sin^n x $ 的积分是一个常见的问题。对于不同的 $ n $ 值，积分结果会有所不同，但可以通过递推公式来简化计算过程。本文将总结 $ \sin^n x $ 在区间 $ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上的积分递推式，并以表格形式展示不同 $ n $ 值下的结果。

一、积分递推式的推导

设：

$$

I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx

$$

我们可以通过分部积分法来推导出递推关系式。令：

- $ u = \sin^{n-1} x $

- $ dv = \sin x \, dx $

则：

- $ du = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \, dx $

- $ v = -\cos x $

根据分部积分公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $，可得：

$$

I_n = \left[ -\sin^{n-1} x \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \sin^{n-2} x \, dx

$$

由于 $ \cos x $ 在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处为 0，且 $ \sin x $ 在 $ x = 0 $ 处也为 0，因此第一项为 0。

接下来，利用恒等式 $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $，代入上式：

$$

I_n = (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2 x) \sin^{n-2} x \, dx

= (n-1) \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx \right)

$$

即：

$$

I_n = (n-1)(I_{n-2} - I_n)

$$

移项整理得：

$$

I_n + (n-1)I_n = (n-1)I_{n-2}

\Rightarrow nI_n = (n-1)I_{n-2}

\Rightarrow I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}

$$

这就是 $ \sin^n x $ 在 $ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上的积分递推公式。

二、递推公式总结

三、递推公式的应用

通过上述递推公式，我们可以快速计算任意正整数 $ n $ 对应的 $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx $ 的值。尤其适用于 $ n $ 较大的情况，避免了直接积分的复杂性。

此外，该递推式也可推广到 $ \cos^n x $ 的积分，只需将 $ \sin x $ 替换为 $ \cos x $ 即可。

四、结论

通过对 $ \sin^n x $ 在 $ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上的积分进行分析，我们得到了一个简洁而有效的递推公式：

$$

I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}

$$

结合初始条件 $ I_0 = \frac{\pi}{2} $ 和 $ I_1 = 1 $，可以计算出任意正整数 $ n $ 对应的积分值。该方法不仅提高了计算效率，也便于编程实现和教学使用。

附：常见 n 值的积分结果（表格）