【等差数列的各种公式】等差数列是数学中一种重要的数列形式，广泛应用于数列、级数以及实际问题的建模中。掌握等差数列的相关公式，有助于快速解决相关问题。以下是对等差数列各种公式的总结。
一、基本概念
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
若首项为 $ a_1 $，则等差数列的一般形式为：
$$
a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots
$$
二、常用公式汇总
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 用于求第n项的值 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 求前n项的和 |
| 中间项公式 | 若n为奇数，则中间项为 $ a_{\frac{n+1}{2}} $ | 用于求奇数项数列的中间项 |
| 公差公式 | $ d = a_n - a_{n-1} $ | 用于计算公差 |
| 等差中项公式 | 若三个数成等差数列，则中间数为等差中项，即 $ b = \frac{a + c}{2} $ | 用于求两个数之间的等差中项 |
三、典型应用举例
1. 已知首项和公差，求第n项
例如：首项 $ a_1 = 5 $，公差 $ d = 3 $，求第6项：
$$
a_6 = 5 + (6 - 1) \times 3 = 5 + 15 = 20
$$
2. 已知首项和末项，求前n项和
例如：首项 $ a_1 = 2 $，末项 $ a_5 = 14 $，求前5项和：
$$
S_5 = \frac{5}{2}(2 + 14) = \frac{5}{2} \times 16 = 40
$$
3. 已知两项，求公差
例如：已知 $ a_3 = 10 $，$ a_5 = 18 $，求公差 $ d $：
$$
a_5 = a_3 + 2d \Rightarrow 18 = 10 + 2d \Rightarrow d = 4
$$
四、注意事项
- 公差 $ d $ 可以为正、负或零，分别表示数列递增、递减或恒定。
- 当公差为0时，所有项都相等，此时称为“常数数列”。
- 在使用前n项和公式时，注意区分是使用 $ a_1 $ 和 $ a_n $ 还是 $ a_1 $ 和 $ d $。
通过以上公式和实例，可以更系统地理解和运用等差数列的相关知识。在实际问题中，灵活运用这些公式能够大大提高解题效率。
