【等比数列相关公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列广泛应用于数学、物理、经济等多个领域，掌握其相关公式对理解数列规律和解决实际问题具有重要意义。
以下是对等比数列相关公式的总结，帮助读者更清晰地掌握其基本概念和应用方法。
一、基本概念
- 首项（a₁）：数列的第一个数。
- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $。
- 第n项（aₙ）：数列中的第n个数。
- 前n项和（Sₙ）：数列前n项的总和。
二、常用公式汇总
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 用于求等比数列的第n项 |
| 前n项和公式（r ≠ 1） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | 用于计算前n项的和 |
| 当r = 1时的和 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 当公比为1时，所有项相等，直接乘以项数 |
| 等比数列的性质 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = a \cdot c $ | 表示中间项的平方等于两边项的积 |
三、应用举例
假设有一个等比数列，首项为2，公比为3，求：
1. 第5项是多少？
解：$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $
2. 前4项的和是多少？
解：$ S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 2 \cdot 40 = 80 $
四、注意事项
- 当公比 $ r > 1 $ 时，数列是递增的；当 $ 0 < r < 1 $ 时，数列是递减的。
- 如果 $ r = 1 $，则数列为常数列，每一项都相等。
- 对于无限等比数列，若 $
通过以上内容的整理，可以看出等比数列的相关公式不仅结构清晰，而且具有很强的实用性。在学习和应用过程中，建议结合具体题目进行练习，以加深对公式的理解和记忆。
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