【sin75度的三角函数值】在三角函数的学习中，常见的角度如30°、45°、60°等都有标准的三角函数值，但像75°这样的角度，通常需要通过公式推导或特殊角的组合来计算。sin75°是一个常用的非标准角度，可以通过和角公式进行计算。
一、计算方法
sin75°可以看作是sin(45° + 30°)，利用正弦的和角公式：
$$
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
$$
代入 $a = 45^\circ$，$b = 30^\circ$：
$$
\sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
$$
已知：
- $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
代入计算：
$$
\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}
= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
因此，$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
二、常用三角函数值对比表
| 角度 | sinθ | cosθ | tanθ |
| 30° | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45° | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60° | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 75° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ |
> 注：tan75°可通过$\tan(a + b)$公式计算，结果为$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$，也可化简为$2 + \sqrt{3}$。
三、总结
sin75°是一个常见的非标准角度，其值可以通过和角公式得出，表达为$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$。通过与常见角度的对比，可以更清晰地理解其数值大小及与其他三角函数的关系。掌握这类角度的计算方法，有助于提升解决复杂三角问题的能力。
